以下是对这些简洁明了的准确解释：σ-代数。要解决上面的数学问题，本质就是给一些集合的子集（即我们的概率空间）分配一个能够量化其尺寸的数字。这意味着我们要定义一个函数，能够从S的幂集投影到一个非负实数或无穷大。然而，可以证明的是，想要量化空间维度的尺寸，必须要与我们对尺寸的直观理解相匹配，当我们真的想在整个幂集上面定义函数的时候我们会发现定义不出来。因此，函数只能被定义在一个合适的幂集的子集上面，称之为可测集。除了选择一个幂集的的任意子集，子集必须丰富，以便我们展开后续的工作，这就衍生出一个定义：σ代数

　　让S作为一个集合，A作为S集合幂集的子集，U被称为σ代数。如果：1、A包含S；2、如果A包含部分U且A包含S/U；3、如果A包含，最多能够达到无穷的集合并且A包含这些集合的并；度量：度量用前面提到的函数，它将S的子集，更具体地说是将σ-代数在A中的集合，投射到表示其尺寸的非负实数（或无穷大）。

　　度量包含以下步骤：1、空集合的尺寸是0，简单说空即的尺寸是0；2、A集合中多个无穷不相交集的整体尺寸等于将每个单独集相加的和。我们可以从一般情况来推测，在许多不同的σ-代数上有许多不同的度量，而且在一定数量的情况下下没有分类，即使得出了类似于一个尺寸的结论也无济于事。因此，如果我们要讨论的是尺寸，就要选择一种度量方法。

　　豪斯道夫度量：要选择一种度量法帮助我们理解尺寸的概念，我们希望它除了具备基本的度量属性外，还具备多个其他属性，例如：边长为1的n维立方体的n维尺寸等于1。移动或旋转不会改变其尺寸。

　　如果在博雷尔集上面拟合，满足这一性质的度量即N维豪斯道夫度量。博雷尔集是σ代数的一种特殊情况，博雷尔集是从N维实坐标空间中的所有开子集开始的（或所有闭集，小型或半开放立方体）再加入所有必要的集合，使其成为σ代数。这个集合要足够广泛，可以量化几乎任何真实的大小。豪斯道夫度量还有另一个特性，使它们的度量结果更为直观。一个M维子簇是一个平滑的低维项，位于高维空间中。如果将M维豪斯道夫度量法应用于子簇，度量尺寸的结果更加准确。例如，如果通过豪斯道夫度量法来测量，能够得出球体表面积的大小。

　　豪斯道夫度量：如何对高维空间子集的维数进行分类是一个不容易解决的问题。还有一个更行之有效的办法，正如前面所说，可以将低维豪斯道夫度量应用于高维空间的子集（例如子簇......